Begovic kembali melakukan penyelamatan gemilang pada menit ke-54 untuk menggagalkan tembakan jarak jauh Dwight McNeil.
Dua menit berselang, Burnley membuang peluang emas untuk menyamakan kedudukan ketika Jay Rodriguez menembak bola dari jarak dekat ke atas mistar gawang.
Alih-alih mampu bangkit, Burnley malah melakukan kesalahan fatal ketika Kevin Long menjatuhkan Surridge di dalam area terlarang pada menit ke-87, membuat Bournemouth memperoleh hadiah tendangan penalti.
Stanislas yang menjadi algojo dengan tenang menempatkan bola ke pojok kanan atas gawang, tak terhentikan oleh upaya halauan Peacock-Farrell, demi mengunci kemenangan Bournemouth 2-0 atas Burnley.
Bournemouth jadi tim pertama yang memesan tempat di babak perempat final, yang akan diundi oleh FA selepas rangkaian putaran kelima rampung dimainkan pada Kamis (11/2) waktu setempat (Jumat WIB).