Mengapa Perkalian Dua Bilangan Negatif Menghasilkan Bilangan Positif? Ini Penjelasan Logisnya

Suara.com - Sejak di bangku sekolah dasar, kita selalu diajarkan aturan dasar matematika bahwa perkalian dua bilangan positif menghasilkan bilangan positif.

Namun, aturan yang sering kali memicu rasa penasaran adalah mengapa perkalian antara dua bilangan negatif justru menghasilkan bilangan positif.

Banyak siswa yang sekadar menghafal aturan minus dikali minus sama dengan plus tanpa benar-benar memahami logika di balik pembuktian matematisnya.

Untuk memahami alasan ilmiah di baliknya, kita perlu mengenal terlebih dahulu konsep dasar dari bilangan bulat.

Mengenal Konsep Bilangan Bulat

Bilangan bulat merupakan himpunan bilangan yang bukan berbentuk pecahan atau desimal, yang terdiri dari bilangan positif, angka nol, dan bilangan negatif.

Dalam dunia matematika, himpunan bilangan bulat disimbolkan dengan huruf Z tebal, yang berasal dari kata Zahlen dalam bahasa Jerman.

Kedudukan bilangan ini digambarkan melalui garis bilangan, di mana angka nol menjadi batas tengah, bilangan positif berada di sebelah kanan, dan bilangan negatif terletak di sebelah kiri.

Dalam ilmu matematika, kebenaran suatu aturan sangat bergantung pada apa yang disebut sebagai semesta pembicaraan.

Istilah teknis ini merujuk pada himpunan atau batasan objek yang sedang dibicarakan, seperti himpunan bilangan real. Operasi penjumlahan dan perkalian pada himpunan bilangan real ini diatur oleh beberapa sifat dasar.

Di antaranya adalah sifat distributif atau penyebaran, elemen identitas (seperti angka nol pada penjumlahan dan angka satu pada perkalian), serta invers penjumlahan.

Mengenal Invers

Invers penjumlahan sendiri adalah nilai kebalikan dari suatu bilangan yang jika dijumlahkan dengan bilangan itu sendiri akan menghasilkan nilai nol. Sebagai contoh, invers penjumlahan dari angka x adalah -x.

Para ahli matematika membuktikan aturan perkalian dua bilangan negatif ini melalui tiga langkah logis yang saling berkaitan.

Pembuktian Perkalian Dua Bilangan Negatif Hasilya Positif

Langkah pertama adalah membuktikan mengapa angka nol jika dikalikan dengan bilangan apa pun hasilnya selalu nol (0 x x = 0).

Karena 0 + 0 = 0, maka dengan sifat distributif kita memperoleh 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x.

Jika kedua ruas ditambahkan dengan invers penjumlahan dari 0x (yaitu -0x), maka terbukti bahwa 0x = 0.

Langkah kedua adalah membuktikan bahwa perkalian bilangan negatif dengan bilangan positif menghasilkan bilangan positif yang bernilai negatif, atau (-x)y = -(xy).

Dengan memanfaatkan sifat distributif, persamaan (-x)y + xy dapat ditulis menjadi (-x + x)y. Karena (-x + x) bernilai nol, maka hasilnya adalah 0y = 0.

Ini membuktikan secara sah bahwa (-x)y memang merupakan invers atau kebalikan dari xy.

Langkah ketiga merupakan puncak dari pembuktian mengapa minus dikali minus menghasilkan plus, yaitu (-x)(-y) = xy.

Pembuktian ini dilakukan dengan menjumlahkan bentuk (-x)(-y) dengan (-xy).

Menggunakan sifat distributif, persamaan dapat ditulis menjadi (-x)(-y) + (-x)y = -x((-y) + y). Karena (-y) + y bernilai nol, maka persamaannya menjadi -x(0) = 0.

Dari hasil penjumlahan (-x)(-y) + (-xy) = 0 tersebut, secara matematis disimpulkan bahwa (-x)(-y) harus bernilai positif xy agar ketika ditambahkan dengan -(xy) hasilnya tepat bernilai nol.

Dalam pengerjaan soal sehari-hari, aturan matematis ini membuat perhitungan menjadi sangat konsisten.

Sebagai contoh sederhana, perkalian antara angka negatif dua dengan negatif dua akan menghasilkan positif empat (-2 x -2 = 4).

Begitu pula perkalian antara negatif lima dengan negatif dua yang menghasilkan angka positif sepuluh (-5 x -2 = 10).

Melalui landasan sifat dasar bilangan real tersebut, aturan perkalian dua bilangan negatif bukan sekadar doktrin hafalan, melainkan konsekuensi logis dari struktur matematika itu sendiri.